ОГЭ Задание 10

Типы заданий № 10

В этой статье будет разобрано задание 10.

Рассмотрим типовые задачи из десятого задания ОГЭ по информатике.

Данное задание относится к базовому уровню сложности.

Время выполнения задания ≈ 3 минуты.

Задача 1 (Классическая)

Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

Число 14 находится в шестнадцатеричной системе. Об этом говорит маленький индекс возле числа. Переведём его в нашу родную десятичную систему.

Берём поочередно цифры, начиная с младшего разряда. Первую правую цифру умножаем на 16 в нулевой степени, вторую цифру на 16 в первой степени и т.д. Умножаем на 16, потому что переводим из шестнадцатеричной системы. Степень потихоньку увеличивается на 1. Необходимо помнить, что любое число в нулевой степени это единица!

Остаётся только посчитать полученный пример. Получается число 20 в десятичной системе.

Переведём число 26 из восьмеричной системы в нашу родную десятичную систему. Делаем аналогично предыдущему примеру.

Аналогично переведём число и из двоичной системы. Наибольшее из трёх чисел это 24.

Ответ: 24

Задача 2 (Классическая, закрепление)

Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

В шестнадцатеричной системе буквы при переводе в десятичную систему нужно превратить в числа: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

Переведём первое число:

Переведём второе число:

Переведём третье число:

Наибольшее число получилось — 30.

Ответ: 30

Задача 3 (Из десятичной в двоичную)

Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, в двоичной записи которого наименьшее количество единиц. В ответе запишите количество единиц в двоичной записи этого числа.

Решение:

Нужно каждое число перевести в двоичную систему счисления.

Переведём число 59 в двоичную систему:

Получается 59 = 111011. Здесь мы делим уголком на 2 (на основание системы, куда переводим) с остатком. Продолжаем делить, пока не получим 1. Затем остатки записываем задом наперёд. Получается число в двоичной системе счисления. Последнее число 1 (единицу) тоже берём.

Переведём число 71 в двоичную систему:

Получается 71 = 1000111.

Переведём число 81 в двоичную систему:

Получается 81 = 1010001.

Найдём количество единиц для каждого числа, записанного в двоичной системе:

111011, Кол. ед.: 5;

1000111, Кол ед.: 4;

1010001, Кол ед.: 3;

Ответ: 3

Задача 4 (Из десятичной в восьмеричную)

Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, сумма цифр которого в восьмеричной записи наименьшая. В ответе запишите сумму цифр в восьмеричной записи этого числа.

Решение:

Переведём число 86 в восьмеричную систему: Делаем аналогично тому, как мы переводили в двоичную систему, только теперь уголком делим на 8. Остатки могут получатся от 0 до 7.

Как только в результате деления получили число меньшее, чем 8, то завершаем процесс перевода.

Остатки опять записываем задом наперёд. Последнее число тоже участвует в формировании результата наравне с остатками.

Получается:

Переведём число 99 в восьмеричную систему: Получается 143 в восьмеричной.

Переведём число 105 в восьмеричную систему: Получается 151 в восьмеричной.

Найдём сумму цифр у полученных чисел в восьмеричной системе:

126, Сумма цифр: 9;

143, Сумма цифр: 8;

151, Сумма цифр: 7;

Наименьшая сумма цифр равна 7.

Ответ: 7

Задача 5 (Неожиданная)

Число 3322 записано в системе счисления с основанием n (n > 1). Определите наименьшее возможное значение n. Для этого значения n в ответе запишите представление данного числа в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

Наименьшее значение n в этой задаче может быть равно 4, потому что самая большая цифра - это тройка. Мы берём на 1 больше, т.к. в четверичной системе могут применяться только цифры: 0, 1, 2, 3. Тоже самое, как в нашей родной десятичной системе могут применяться 10 цифр: от нуля, до девяти. Самая большая цифра в нашей родной десятичной системе девятка.

Осталось перевести данное число из четверичной системы в десятичную.

Ответ: 250

Задача 6 (Уже знаем)

Число 2023n записано в системе счисления с основанием n (n > 1). Определите значение n, при котором данное число минимально. Для этого значения n в ответе запишите представление данного числа в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

Здесь нужно, чтобы само число 2023n было минимальным. Но это число будет минимальным, если мы выберем самое маленькое значение n при данных цифрах.

Самое маленькое основание системы может вновь 4. Переведём наше число 20234 из четверичной системы в десятичную.

Получается число 139.

Ответ: 139

Задача 7 (Крепкий орешек)

Число 121n записано в системе счисления с основанием n (n > 1). Определите наибольшее возможное значение n, для которого 121n < 108(в десятичной). Для этого значения n в ответе запишите представления данного числа в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

Мы не знаем в какой системе счисления записано число. Но всё равно начнём переводить его в десятичную систему, оставив переменную n в виде неизвестной.

Попробуем подобрать n. При n = 10:

Перебор. Ну это и так было понятно. Значит, нужно уменьшать n. Возьмём n = 9:

Как раз получилось число, которое меньше числа 108. Это и есть наибольшее n!

В ответе просили перевести исходное число в десятичную систему. Это и есть число 100, уже всё переведено.

Ответ: 100

Задача 8 (Не все цифры одинаковые)

Десятичное число 511 записано в системе счисления с основанием n (n > 1). Определите минимальное значение n, при котором в полученной записи числа не все цифры одинаковые. В ответе запишите запись числа в системе счисления с найденным основанием n. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

Начнём перебирать основание системы n, начиная с наименьшего значения 2. Переведём число 511 в двоичную систему.

Можно переводить стандартно, через деление уголком на 2. Но в данном случае видно, что число 511 близко к 512(это 2 в девятой степени).

Существует правило:

Т.е. степень двойки показывает, сколько после единицы нулей у числа в двоичной системе.

Это касается любой системы счисления.

Наше число:

Сделаем вычитание столбиком:

Вычитание или суммирование столбиком в любой системе счисления выполняются так же, как и в нашей системе счисления. Здесь мы вычитаем единицу из нуля. Ноль идёт занимать у более старшего разряда и т.д. В итоге обращаемся к самой старшей единице. Эта единица превращается в младшем разряде в двойку, потому что работаем в двоичной системе. Как и в нашей системе, когда занимаем у старшего разряда единицу, она превращается в десяток. В итоге каждая двойка отдаёт единицу в младший разряд. В самом младшем разряде получается действие 2-1=1. А все разряды, т.к. отдали единицу в младший разряд превратятся в 1.

Получается:

Видим, что не все цифры у числа одинаковые в троичной системе. И число n = 3 - это минимально возможное число.

Ответ: 200221

Задача 9 (Диапазон чисел)

Сколько существует целых чисел x, для которых выполняется неравенство

В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.

Решение:

Нам нужно узнать сколько чисел находятся в диапазоне от 2B до 62. Переведём числа 2B и 62 в нашу родную десятичную систему счисления. Затем, мы уже сможем сообразить, сколько чисел вмещается в этот диапазон.

Чтобы перевести число из любой системы счисления в нашу родную десятичную, необходимо воспользоваться методом "возведения в степень".

Начинаем с младшего разряда. Цифра "B" превращается в 11. 2B = 43(в десятичной). Теперь переведём число 62 в десятичную систему:

Таким образом, наше неравенство принимает вид 43 < x < 50. Кажется, что нужно сделать 50 - 43 = 7. Но если мы подставим небольшие числа 4 < x < 6, то мы увидим, что метод 6-4=2 неверен. Число будет только одно: 5 (пять). Поэтому и от нашего числа 7 мы тоже должны отнять единицу. 7 - 1 = 6. И ответ будет 6.

Если бы у нас было в одном месте знак "больше или равно": 2B ≤ x < 62, то мы бы оставили число 7. А если было бы два знака "больше или равно", то даже прибавили единицу.

Ответ: 6